圆锥的侧面展开后，为什么是一个扇形？

找到展开前后对应的线段

从尖顶沿圆锥侧面直达底面边缘的每一条母线都等长。母线长 ℓ 就是展开后扇形的半径。竖直高 h 到达的是底面圆心。底面半径 r、竖直高 h 和母线组成直角三角形，由勾股定理得 ℓ = √(r² + h²)。

侧面摊开时不拉伸，因此橙色边缘的弧长始终是 2πr。取 r = 3 cm、h = 4 cm，母线长为 5 cm，弧长为 6π cm，约 18.85 cm。半径为 5 cm 的整圆周长为 10π cm，扇形弧占这个周长的 3/5，因此圆心角为 216°。

把圆锥加高，先猜角度和面积

扇形占半径为 ℓ 的整圆的 r/ℓ，所以面积是 (r/ℓ) × πℓ² = πrℓ。初始圆锥的侧面积为 15π cm²，约 47.12 cm²。底面是单独的一片，如果要求总表面积，还要加上 πr²。

将圆锥完全展开，保持 r = 3 cm，把 h 从 4 cm 增至 8 cm。弧长仍是 18.85 cm，圆心角从 216° 缩到约 126.4°，侧面积却增到约 80.53 cm²。相同的弧长在更大的圆上占比更小，而尖顶到弧上每一点的距离变长了。

检查你的理解

把初始半径和高都加倍，设 r = 6 cm、h = 8 cm。先预测圆心角，再判断新的侧面积是原来的几倍。